Equação do segundo grau com o uso do Winplot

Plano de Aula usando o Winplot  

2. Introdução

Esse plano de aula é sobre Equações do Segundo Grau, dando um foco maior na resolução das equações com a Fórmula de Bhaskara e seus respectivos gráficos.

Sendo uma atividade investigativa, os alunos através da utilização do programa Winplot, vão poder visualizar diferentes tipos de gráficos, chegando a conclusões importantes sobre os coeficientes e o delta das funções.

3. Objetivos

1.       

1.  
   • Fazer com que os alunos percebam os diferentes tipos de gráficos das funções do segundo grau;
   • Fazer os alunos trabalharem com a parte cognitiva, pois terão que fazer associações, e assim, conclusões sobre o que está sendo mostrado nos gráficos e em suas contas no papel;
   • Aluno entenda melhor os conceitos matemáticos que existem nas resoluções de equações do segundo grau;
   • Ajudar na visualização dos diferentes tipos de gráficos, tanto em consideração ao coeficiente ‘a’, como o coeficiente ‘c’ da equação do segundo grau: f(x) = ax²+bx+c;
   • Ajudar na visualização e compreensão do que ocorre com os gráficos com os três diferentes tipos de D(delta) – negativos, igual a zero ou positivos.

4. Conteúdo abordado

1. Equação do Segundo Grau

• Resolução de Equação do Segundo Grau pela Fórmula de Bhaskara;
• Gráficos das equações;

5.   Justificativa da escolha

Quando aprendi equação do segundo grau, lembro que a maioria dos alunos da minha classe possuía muita dificuldade de entender os conceitos da resolução e também na associação dos gráficos com os resultados obtidos. E uma atividade que envolva uma mídia, neste caso o Winplot, pode ajudar e muito na visualização e assim na compreensão do conteúdo.

6.   Materiais necessários para atividade

• Giz;
• Lousa;
• Papel;
• Lápis;
• Borracha;
• Computador (o programa Winplot deve estar instalado, se não estiver, pode ser baixado gratuitamente no site: );

7.   Conhecimentos necessários

Primeiramente o professor deve introduzir os conceitos básicos de equação do segundo grau, como:

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax² + bx + c = 0; a, b, c pertencentes ao real e a ≠ 0.

Sendo esta a forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x. Chamamos a, b e c de coeficientes, sendo o a o coeficiente do x², b o coeficiente do x e c o termo independente.

Exemplos:

• x² - 9x + 5 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -9  e  c = 5;
• x² – 2x – 3 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -2  e  c = -3;
• 3x² +5x+10=0   é um equação do 2º grau com a = 3,  b = 5  e  c = 10;
• 7x² – x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0;
• x² – 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36;

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. E o conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se o conjunto solução.
O método de calcular as raízes pode ser pela Fórmula de Bhaskara.

Lembrando que o professor deve avisar os alunos que no caso das equações incompletas (b=0 ou c=0) possui métodos mais fáceis para encontrar as raízes. Com c=0, por exemplo pode ser por fatoração em relação a x.
O professor deve ensinar a construir os gráficos das diferentes equações.

OBS: É importante que o professor não comente a relação do coeficiente c com o gráfico e nem sobre o que acontece com o gráfico quando:
* a<0 ou a>0;
* D<0, D=0 ou D>0.
8.   Desenvolvimento

Na aula seguinte, pode ser aplicada a atividade que envolve o programa Winplot, com duração de 3h/aula, para o 9º ano do Ensino Fundamental.

A atividade pode ser desenvolvida individualmente, em dupla ou até mesmo em grupo, dependendo da intenção do professor e/ou da quantidade de computadores disponíveis para tal atividade. Se na classe possuir aluno com algum tipo de problema mental ou físico (que atrapalhe no desenvolvimento da atividade) é mais interessante que este faça junto com um colega de classe, para melhor aproveitamento.

Esse projeto deve ser dividido em duas etapas: a primeira com duração de uma aula e a segunda com duração de duas aulas.

Na primeira etapa pode ser realizada ainda na sala de aula, onde o professor vai passar as seis equações do segundo grau, três com o coeficiente a positivo e três com o coeficiente a negativo, e entre elas, equações com D negativo, igual a zero e positivo, e fazer com que seus alunos as resolvam através da Fórmula de Bhaskara. Lembrando que o professor pode escolher se sua atividade vai ser trabalhada individualmente, em dupla ou grupo, já que nessa etapa não depende de disponibilidade de computadores.

Um exemplo de seis equações que pode ser trabalhada nessa atividade:

1. f(x) = x²-5x+1    (a>0 e D>0);
2. f(x) = x²+3x+6   (a>0 e D<0);
3. f(x) = x²+4x+4   (a>0 e D=0);
4. f(x) = -x²+2x      (a<0 e D>0);
5. f(x) = -x²-4x-4    (a<0 e D=0);
6. f(x) = -x²+x-5     (a<0 e D<0);

Já a segunda etapa, com os exercícios resolvidos, os alunos deverão ir até a sala de computadores, e plotar todos as equações no programa Winplot. O professor nessa aula tem a função de auxiliar os alunos a mexer com o programa e fazer com que eles enxerguem o que está acontecendo com os gráficos, sem dar as respostas de suas perguntas.

Os alunos já divididos como o professor preferir, devem seguir as seguintes instruções: Iniciar – Todos os Programas – Winplot. Para abrir o plano cartesiano: Janela – 2-dim.

Para a construção dos gráficos, ir em: Equação – 1.Explícita – Digitar a equação do modo que o programa entenda, exemplo: na função f(x) = x²-5x+1, o correto seria digitar x^2-5x+1 no espaço em branco na frente de f(x)= , pode escolher uma cor de gráfico como preferir e depois apertar OK.

Nessa aula, a pergunta seria as seguintes:

a)      O que você percebeu de diferente nos gráficos em relação ao coeficiente a?

b)      O que você concluiu sobre o coeficiente c, depois de plotar os gráficos?

c)      Você pode tirar alguma conclusão sobre os três diferentes tipos de D (negativo, igual a zero e positivo)? Se sim, quais são essas conclusões?

OBS: Para ser mais fácil a visualização das equações com seus respectivos gráficos, o professor pode informar aos alunos para fazerem os seguintes passos: Equação –Ocultar/ Mostrar tudo – Equações, assim todas as equações vão ficar no canto superior esquerdo da tela, cada uma com a cor do seu gráfico, ajudando no processo da investigação.

9.   Avaliação

Uma forma interessante de avaliação seria dividir por etapa, ou seja, como foi explicado anteriormente, primeiramente os alunos deverão resolver seis equações do segundo grau, e a resolução pode ser entregue ao professor que corrigirá e pode trazer na próxima aula. Cada equação certa pode valer 1,0 ponto, totalizando 6,0 pontos a primeira etapa. O professor entregando as resoluções deverá passar as respostas certas para todos os alunos, assim terão todos a mesma chance de fazer a atividade investigativa, a qual mais interessa no momento.

Na segunda etapa, a pontuação pode ser divida da seguinte forma: a letra a) valendo 1,0 ponto, a letra b) também 1,0 ponto e a letra c) 2,0 pontos, já que nessa a dificuldade aumenta um pouco. Assim, totaliza 4,0 pontos a segunda etapa. Ou seja, a pontuação da 1ª etapa com a 2ª forma uma avaliação de 10,0 pontos.

As pontuações foram divididas desse modo, pois na maioria das vezes os alunos não estão acostumados com atividades investigativas, então, podemos colocar uma quantidade de pontos a mais na parte em que eles já estão mais familiarizados, assim, não prejudica a nota dos alunos e a atividade só tem a acrescentar em seu entendimento e ajudar no processo ensino-aprendizagem.

OBS: Se na classe possuir algum aluno com algum tipo de deficiência seria interessante que o professor colocasse esse aluno para fazer a atividade com algum colega de classe.

10. Exercícios extras

a)      f(x) = 3x²-x+1         (a>0 e D<0);

b)      f(x) = 5x² + 5x        (a>0 e D>0);

c)      f(x) = 6x²+2x-6      (a>0 e D>0);

d)      f(x) = 5x²+5x+5      (a>0 e D<0);

e)      f(x) = 4x²                     (a>0 e D=0);

f)        f(x) = -3x²+2x+9     (a<0 e D>0);

g)      f(x) = -x²-x-1              (a<0 e D<0);

h)      f(x) = -x²+9x              (a<0 e D>0);

i)        f(x) = -3x²-6x-9        (a<0 e D<0);

j)        f(x) = -9x²                   (a<0 e D=0).

11. Outras idéias

Podem ser trabalhadas com muitos conceitos diferentes usando o Winplot.

Mesmo dentro de equação do segundo grau, ainda pode aplicar diferentes tipos de atividades, como por exemplo, “determine o valor de p, para que a equação
x² – (p – 1) x + p – 2 = 0 possua raízes iguais” ou “para quais valores de k a equação
x² – 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?“, dificultando um pouco as contas.

Assuntos interessantes para serem trabalhados no Ensino Médio seriam:

• Trigonometria;
• Resolução de Inequações (usaria o Winplot para a visualização do sinal, ajudando na construção do “varal”, vendo onde a equação é positiva e onde é negativa e quais são as raízes);
• Funções (podendo trabalhar conceitos de imagem, domínio, funções injetivas, subjetivas e bijetivas).

O importante é despertar o interesse dos alunos em entender os conceitos, ajudando-os na visualização dos conteúdos de Matemática, que em sua maioria são tão abstratos para os alunos, e assim na compreensão do assunto. E trabalhar com diferentes mídias é uma forma muito interessante se fazer isso.